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\newcommand{\comment}[1]{}
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% contenu de la page de titre

\title[Etude de la corrélation]{Décroissance des fonctions de correlations pour des systèmes quantiques de spins à symétrie continue}
\subtitle{Travail réalisé avec Michel Rouleux}
\author{Jean-Christophe Lavocat}
\institute[Marseille] % (facultatif mais généralement nécessaire)
{
  Ecole Centrale Marseille\\
  M2 Physique Théorique : Luminy}
\date{\oldstylenums{4 Novembre 2008}}

%Sommaire auto
\AtBeginSection[]{
\begin{frame}{Sommaire}
\small \tableofcontents[currentsection, hideothersubsections]
\end{frame}
}

%
% Fin du préambule
%

\begin{document}

\frame{\titlepage}

%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Introduction %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
\section{Introduction}


\frame[label=apercu]
{
	\frametitle{Introduction}
	\framesubtitle{Aperçu}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Magnetisme \\
			\includegraphics[width=2cm]{magnet.png}
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{itemize}[<+->]
			\item Propriété due aux moments magnétiques
			\item En l'absence d'interaction inter-atomique :
				\begin{itemize}
					\item Température
					\item $\ve{B}$ (para/diamagnétique) \\
				\end{itemize}
			\end{itemize}
		\end{column}
\end{columns}
\onslide<5>

	Pour un e$^-$, le moment magnétique associé au spin $\ve{S}$ est : 
	\begin{equation*}
		\ve{\mu_s} = - g \mu_B \ve{S}  \text{ (où } \mu_B=\frac{e h}{2 m} \text{ : le magnéton de Bohr)}
	\end{equation*}
}

\frame[label=heisenberg]
{
	\frametitle{Introduction}
	\framesubtitle{Les interactions}
	Dans notre cas, les particules du système sont en interaction \\
	$\Rightarrow$  les e$^-$ agissent sur leurs voisins.\newline \newline
	Modèle simple : \alert{Heisenberg}  \pause
	
		$ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} t_{ij} \ve{S_i} \ve{S_j} $  \\
		
		$i$ et  $j$ sont les sites du réseau périodique $\wedge \subset{\bf Z}^2$\\
	$t_{ij}$ représente les interactions entre les sites \pause \newline \newline
	Dans nos calculs : $t_{ij}=0$ si $\|i-j\|_1>R$ (norme $\ell_1$ sur le réseau)\\
	
	Dans cette présentation $t_{ij}=0$ si $\|i-j\|_1>R$
	(hypothèse des \textit{plus proches voisins}), et $t_{ij}=t=1$
		\comment{$i$ et  $j$ sont les sites du réseau, $t_{ij}$ représente les interactions d'échanges coulombiens \pause \newline
	Dans nos calculs : $t_{ij}=0$ si $\left| \ve{r_i}- \ve{r_j}\right|>1$\\
	Dans cette présentation $t_{ij}=0$ si $\left| \ve{r_i}- \ve{r_j}\right| >1$ sinon.
	(hyppothèse des \textit{plus proches voisins}), et $t_{ij}=t=1$}
}


\frame[label=heisenberg]
{
	\frametitle{Introduction}
	\framesubtitle{Les modèles considérés}
	\alert{Modèle XY} (rotateur plan) 
		
		%$ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sigma_i^x \otimes \sigma_j^x + \sigma_i^y \otimes \sigma_j^y$  \\
		$ \displaystyle H_L = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sigma_i^x \otimes \sigma_j^x + \sigma_i^y \otimes \sigma_j^y$ \pause
$\;\;\;\;\;\; \sigma^x = \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}, \sigma^y = \begin{pmatrix}0 & -i\\i & 0\end{pmatrix}$	\pause	\\
		Conditions aux limites périodiques ($\wedge \subset \p{\Z /L \Z }^2$)
		\pause 
		
	Associé à la Symétrie O(2)  \pause \newline \newline
	\alert{Modèle de Hubbard}
		
		$ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sum_{\sigma={\upp,\downn}} t_{ij} c_{i,\sigma}^{\dagger} c_{j,\sigma} + V(n_{i,\sigma}) + <h.S>$ \pause \\
		 $c_i^{x\dagger}$ $(c_i^{x}$) : opérateur création (annihilation) de fermion de spin $x$ au site $i$
		 Annihilation en $j$, Création en $i$ => conservation du nombre de fermions \newline \newline \pause
		 2 termes : \textbf{cinétique} ($t_{ij} c_{i,\sigma}^{\dagger} c_{j,\sigma}$) et \textbf{potentiel} (electrique $V(n_{i,\sigma})$ et magnétique $<h.S>$)
		
}

\frame[label=heisenberg]
{
	\frametitle{Introduction}
	\framesubtitle{L'état de Gibbs}
	\comment{\begin{definition}
	Etat de Gibbs : distribution de probabilité de l'opérateur A à l'équilibre
	\end{definition}
	\pause}
	On assimile le réseau infini à \comment{La valeur moyenne d'un opérateur A pour l'état de Gibbs, sur} un réseau fini périodique L. La probabilité dans cet état est donnée par :
	\begin{equation*}
	<A>_L=\frac{Tr(Ae^{-\beta H_L})}{Tr(e^{-\beta H_L})}
	\end{equation*}
	\pause
	On admettra que pour passer au réseau infini (observable quasi-locale $A$) :
	\begin{equation*}
	<A>=\limite{L \to \infty} <A>_L
	\end{equation*}
	
}
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Généralités %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
\section{Généralités}
\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Généralités}
	\framesubtitle{Définitions}
	\begin{definition}
	$\beta = \frac{1}{k_B T}$ : inverse de la température x c$^{te}$ Boltzmann
	\end{definition}
	\pause
	\begin{definition}
	Opérateurs de création/annihilation  :\\
	Création au site x : $c_x^{\dagger} = \left( \begin {array}{cc} 0&0\\\noalign{\medskip}1&0\end {array} \right)$
	Annihilation $c_x = \left( \begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}0&0\end {array} \right)$
	\end{definition}
	\pause
	\begin{definition}
	Opérateur de nombre de particules  :
	\begin{center}
	$n_x= c_x^{\dagger} c_x = \left( \begin {array}{cc} 0&0\\\noalign{\medskip}0&1\end {array} \right)$
	\end{center}
	\end{definition}
}

\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Généralités}
	\framesubtitle{Définitions}
	\begin{definition}
	Le "vide" : 
	\begin{center}
	$ |\Omega \rangle = \left( \begin {array}{c} 1\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right)$
	\end{center}
	\end{definition}
	\pause
	\begin{exampleblock}{Exemple}
	Effets des opérateurs de création/annihilation  :\\
	Création : $\langle c_x^{\dagger}|\Omega \rangle = \left( \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right)$
	Annihilation $\langle c_x|\Omega \rangle = \left( \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\end {array} \right)$
	\end{exampleblock}
}

\frame[label=commutation]
{
	\frametitle{Généralités}
	\framesubtitle{Commutation}
	
	\begin{block}{Propriétés}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Fermions : \\
			$[c_x , c_y ^{\dagger} ]_+ = \delta_{xy} $ \\
			\pause
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Bosons : \\
			$[c_x , c_y ^{\dagger} ] = \delta_{xy} $ \\
		\end{column}
	\end{columns}
	\end{block}
	
\pause

	\begin{block}{Propriétés}
	Fermions : \\
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			$ c_x ^{\dagger} n_x = 0 $ \\
			$ n_x c_x ^{\dagger} = c_x ^{\dagger} $ \pause
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			$[n_x , c_x ^{\dagger} ]_+ = c_x^{\dagger} $ \\
			$[n_x , c_x ^{\dagger} ] = c_x^{\dagger} (1-2n_x) = c_x^{\dagger}$ 
		\end{column}
	\end{columns}
	\end{block}
	
}

%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Modèle de Hubbard %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%

\section{Modèle de Hubbard}
\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Simplifications}
	Rappel :
	\begin{block}{}
	\begin{overprint}
		\onslide<1,5-> $ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sum_{\sigma={\upp,\downn}} t_{ij} c_{i,\sigma}^{\dagger} c_{j,\sigma} + V(n_{i,x}) + <h.S>$ 
		\onslide<2> $ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sum_{\sigma={\upp,\downn}} t_{ij} c_{i,\sigma}^{\dagger} c_{j,\sigma} + V(n_{i,x}) + \sout{<h.S>}$ 
		\onslide<3> $ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sum_{\sigma={\upp,\downn}} t_{ij} c_{i,\sigma}^{\dagger} c_{j,\sigma} + \sout{V(n_{i,x})} + <h.S>$ 
		\onslide<4> $ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sum_{\sigma={\upp,\downn}} \sout{t_{ij}} c_{i,\sigma}^{\dagger} c_{j,\sigma} + V(n_{i,x}) + <h.S>$ 
		%\onslide<5> $ \displaystyle H = - t\frac{1}{4}\sum_{<i,j>} c_i^{x\dagger} c_j^{x}$ 
		% \onslide<6-> $ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} c_i^{x\dagger} c_j^{x}$ \\
	\end{overprint}
	\end{block}
	\pause
	Hypothèses : pas de champ magnétique interne (h=0)\pause, pas d'intéraction (V=0) \pause, plus proches voisins  (t=1). 
	\pause
	\begin{alertblock}{}
	\begin{center}
	$ \displaystyle H = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sum_{\sigma={\upp,\downn}} c_{i,\sigma}^{\dagger} c_{j,\sigma}$
	\end{center}
	\end{alertblock}
}

\subsection{Le théorème de décroissance}
\frame[label=theo_a_prouver]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Théorème à prouver}
	\begin{block}{Théorème}
	%$\exists \alpha,\delta \in \R$ et $f_{t_{xy}}(\beta )$ telle que :\\
	$\exists \alpha,\delta \in \R$ et $f(\beta )$ telle que :\\
	%$f_{t_{xy}}(\beta ) \approx \frac{1}{\beta}$ si $\beta \gg \delta$ et $f_{t_{xy}}(\beta ) \approx \frac{2}{\delta} \abs{log(\beta)}$ si $\beta \ll \delta$ \pause
	\begin{center}
	$f(\beta ) \approx \frac{1}{\beta} $ si $\beta \gg \delta  \; \;$ et $  \; \; f(\beta ) \approx \frac{2}{\delta} \abs{log(\beta)}$ si $\beta \ll \delta$ \pause
	\end{center}
	%\newline\newline
	Tels que l'on ait : \\
	\begin{center}
	$\abs{<c_{x,\upp}^{\dagger} c_{x,\downn}^{\dagger} c_{y,\upp} c_{y,\downn}>} \leq 2\abs{x-y}^{-\alpha f(\beta)}$
	\end{center}
	\end{block}
	
}


\frame[label=theo_a_prouver]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Lemme : Traces et Dilatation analytique}
	Symétrie U(1) du modèle de Hubbard : 
	\begin{center}
	$G_{\theta} = \prod_{u,\sigma} e^{-i \theta_u n_{u,\sigma}}$ \pause
	\end{center}
	
	\begin{block}{Lemme}
		$Tr(A e^{-\beta H}) = Tr (G_{\theta}A G_{\theta}^{-1} e^{-\beta G_{\theta}H G_{\theta}^{-1}} ) $
	\end{block}
	
	\begin{proof}
		En insérant plusieurs fois la matrice $I_n=G_{\theta}G_{\theta}^{-1}$
	\end{proof}
	
}

\subsection{Lemme de commutation}
\frame[label=GHG]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Lemme : Hamiltonien et Dilatation analytique}
	Symétrie U(1) du modèle de Hubbard : 
	\begin{block}{Lemme}
		$G_{\theta}HG_{\theta}^{-1} =  - \sum_{u,v,\mu} e^{-i(\theta_u - \theta_v)}c_{u,\mu}^{ \dagger} c_{v,\mu} $
	\end{block}
	\pause
	\begin{proof}
		\begin{align*}
			G_{\theta}HG_{\theta}^{-1} & = - \prod_{v,\mu} e^{-i \theta_v n_{v,\mu}} & \sum_{i,j,\mu} & & c_{i,\mu}^{\dagger} c_{j,\mu} & & \prod_{u,\mu} e^{i \theta_u n_{u,\mu}} 
			\\
			\pause
			G_{\theta}HG_{\theta}^{-1} & = - \prod_{v\neq i,\mu} e^{-i \theta_v n_{v,\mu}} & \sum_{i,j,\mu} & e^{-i \theta_i n_{i,\mu}} & c_{i,\mu}^{\dagger} c_{j,\mu} & e^{i \theta_j n_{j,\mu}} & \prod_{u\neq j,\mu} e^{i \theta_u n_{u,\mu}}
		\end{align*}
		... à suivre
	\end{proof}
	
}

\frame[label=commut_exp]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Lemme intérmédiaire} 
	\begin{block}{lemme}
		$ e^{-i\theta_x n_x}c^\dagger e^{i\theta_x n_x} =e^{-i\theta_x}c^\dagger $
	\end{block}
	\pause
	\begin{proof}
		On rappelle les \hyperlink{commutation}{\alert{règles de commutation}} :
		%\begin{comment}
		\begin{align*}
			e^{-i\theta_x n_x}c^\dagger e^{i\theta_x n_x} & = & \sum{\frac{(-i\theta_x n_x)^k}{k!}}c^{\dagger}\sum{\frac{(i\theta_x n_x)^j}{j!}} \\
			& = & \sum{\frac{(-i\theta_x)^k}{k!}}(n^k_x c^{\dagger})\sum{\frac{(i\theta_x n_x)^j}{j!}} \\
			& = & \sum{\frac{(-i\theta_x)^k}{k!}}(c^{\dagger})\sum{\frac{(i\theta_x n_x)^j}{j!}} \\
			& = & \sum{\frac{(-i\theta_x)^k}{k!}}(c^{\dagger})(1 + 0 + 0+ \ldots) \\
		e^{-i\theta_x n_x}c^\dagger e^{i\theta_x n_x} & = & e^{-i\theta_x}c^\dagger
		\end{align*}
		%\end{comment}
	\end{proof}	
}


\frame[label=GHG2]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Lemme : Hamiltonien et invariant de Jauge}
	Preuve du Lemme
	\begin{proof}
		\begin{align*}
			G_{\theta}HG_{\theta}^{-1} & = - \prod_{v\neq i,\mu} e^{-i \theta_v n_{v,\mu}} & \sum_{i,j,\mu}  e^{-i \theta_i n_{i,\mu}} c_{i,\mu}^{\dagger} c_{j,\mu}  e^{i \theta_j n_{j,\mu}}  \prod_{u\neq j,\mu} e^{i \theta_u n_{u,\mu}}\\
			 & = - \prod_{v\neq i,\mu} e^{-i \theta_v n_{v,\mu}} & \sum_{i,j,\mu} e^{-i \theta_i}   c_{i,\mu}^{\dagger} e^{-i \theta_i n_{i,\mu}} c_{j,\mu}   e^{i \theta_j n_{j,\mu}}  \prod_{u\neq j,\mu} e^{i \theta_u n_{u,\mu}}\\
			 & = - \prod_{v\neq i,\mu} e^{-i \theta_v n_{v,\mu}} & \sum_{i,j,\mu} e^{-i (\theta_i-\theta_j)}   c_{i,\mu}^{\dagger} e^{-i \theta_i n_{i,\mu}} e^{i \theta_j n_{j,\mu}} c_{j,\mu}   \prod_{u\neq j,\mu} e^{i \theta_u n_{u,\mu}}\\
			 & = \ldots &\\
			 & = -  &\sum_{i,j,\mu} e^{-i (\theta_i-\theta_j)}  c_{i,\mu}^{\dagger} G_{\theta}G_{\theta}^{-1} c_{j,\mu}  \\
			G_{\theta}HG_{\theta}^{-1} & = -  & \sum_{i,j,\mu} e^{-i (\theta_i-\theta_j)}  c_{i,\mu}^{\dagger} c_{j,\mu}  
		\end{align*}
		
	\end{proof}
	
}




\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Preuve du théorème}
	On pose $\theta=-i\phi$\\
	Comme $e^{-x} = cosh(x)-sinh(x)$ on obtient : $e^{-(\phi_u-\phi_v)}=cosh(\phi_u-\phi_v)-sinh(\phi_u-\phi_v)$
	\newline \newline
	$G_{\theta}HG_{\theta}^{-1} = H + U + iP$ avec :\\
	\begin{itemize}
	 \item $U = -\sum [cosh(\phi_u-\phi_v)-1]c_{i,\mu}^{ \dagger} c_{j,\mu}$  \\ 
	 \item $P = -i \sum sinh(\phi_u-\phi_v)c_{i,\mu}^{\dagger} c_{j,\mu}$
	\end{itemize}
	Toutes ces matrices sont hermitiennes !\\
	\begin{block}{}
		De plus, en prenant comme observable du système : $A=c_{x \upp}^{\dagger} c_{x \downn}^{\dagger} c_{y \upp} c_{y \downn}$\\
	\begin{equation*}
	G_{\theta}AG_{\theta}^{-1} = e^{-2(\phi_x-\phi_y)}A
	\end{equation*}
	\end{block}
}

\subsection{Majoration de la trace}
\frame[label=trace]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Majoration de la trace}
	\begin{align*}
		Tr(A e^{-\beta H}) & =  Tr (G_{\theta}A G_{\theta}^{-1} e^{-\beta G_{\theta}H G_{\theta}^{-1}} )\\
	 & \leq  e^{-2(\phi_x-\phi_y)} \sqrt{||A^*A||_{\infty}}Tr(e^{-\beta G_{\theta}H G_{\theta}^{-1}/2}e^{-\beta G_{\theta}^{-1}H G_{\theta} /2})\\
		& \leq  e^{-2(\phi_x-\phi_y)} Tr(e^{-\beta(H+U)})\\
		& \leq  e^{-2(\phi_x-\phi_y)} || e^{-\beta(U)}||_{\infty} Tr(e^{-\beta(H)})		
	\end{align*}
	\begin{block}{}
	Donc :
	\begin{equation*}
	\frac{Tr(Ae^{-\beta H})}{Tr(e^{-\beta(H)})} \leq  e^{-2(\phi_x-\phi_y)} || e^{-\beta(U)}||_{\infty} 
	\end{equation*}
	\end{block}
}

\frame[label=trace]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Majoration de la trace}
	Pour cela on a utilisé les propriétés suivantes : \\
	\begin{itemize}
		\item Cauchy-Schwartz : $Tr(AB) \leq \sqrt{A^*A}\sqrt{B^*B}$ \\
		\item Golden-Symanzik-Thomson : $Tr(e^{O+P}) \leq Tr(e^O e^P)$ (si O et P hermitiennes)\\
		\item $ |Tr(OP)| \leq ||O||_{\infty}Tr(P)$ (si O : hermitienne et P positive)\\
		\item $Tr((O^*)^NO^N) \leq Tr((O^*O)^N)$ (avec $N=2^m$)
	\end{itemize}
}

\subsection{Noyau de Poisson}
\frame[label=trace]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Noyau de Poisson}
	Dans l'hypothèse des plus proches voisins, le laplacien discret d'une fonction $f$ est :\\
	$(\bigtriangleup  f)_i = \sum_{j(i)} f(j) - 4f(i) $ \pause \\
	On résout alors l'équation de Poisson : \\
	$(\bigtriangleup  \phi)_u = \delta_{x,u}-\delta_{y,u} \;\;$ avec condition $\phi(y)=0$ \pause \\
	La résolution amène : \\
	\begin{itemize}
		\item $\exists \delta \in \R_+ $ telle que $ |\phi_u-\phi_v| \leq q \delta $ \\
		\item Lorsque $L \rightarrow \infty $ on a $\phi_x \geq q \alpha ln|x-y|$
	\end{itemize}
	De cette dernière propriété : \\
	$cosh(\phi_u - \phi_v) - 1 \leq g(q) (\phi_u - \phi_v)^2 $ avec $g(q)=\frac{cosh(q \delta) -1}{(q \delta)^2}$
}

\frame[label=trace]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Noyau de Poisson}
	\begin{align*}
	|| e^{- \beta U}||_{\infty}  &\leq  exp \p{\beta \sum_{u,v} |cosh(\phi_u - \phi_v) - 1|}\\
								 &\leq  exp \p{\beta g(q) \sum_{u,v} \lambda_{uv}(\phi_u-\phi_v)^2}\\
								 & =  exp \p{-2 \beta g(q) \sum_u \phi_u (\bigtriangleup)_u}
	\end{align*}\pause
	\begin{alertblock}{}
	\begin{center}
	$ || e^{- \beta U}||_{\infty} \leq  exp\p{2 \beta g(q) q \phi_x}	$
	\end{center}
	\end{alertblock}
}

\frame[label=trace]
{
	\frametitle{Exemple type : le modèle de Hubbard simple}
	\framesubtitle{Noyau de Poisson}
	Donc au final, en intégrant tous les résultats précédents on obtient : 
	\begin{equation*}
	\| <A>_L \| \leq e^{-2 \phi_x + 2 \beta g(q) q \phi_x}
	\end{equation*}
	En minimisant cette fonction de $q$ à droite, on obtient au final : \pause
	\begin{alertblock}{}
	\begin{equation*}
	|<c_{x \upp}^{\dagger} c_{x \downn}^{\dagger} c_{y \upp} c_{y \downn}>|
	\leq e^{-f(\beta) \alpha ln|x-y|} = |x-y|^{-\alpha f(\beta)}
	\end{equation*}
	\end{alertblock}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Modèle XY %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Modèle XY}
\subsection{Généralités}
\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Modèle XY}
	\framesubtitle{Généralités}
	Particules avec modèles de spin-S %(S valeurs possibles) 
	\\
	$\implique$  Générateurs de taille (2S+1) + Produit tensoriel ${\cal H}_{\mu ,i}={\cal H}_\mu \otimes {\cal H}_i$ de dimension 4
	\pause

	\begin{block}{}
		Modèle spin-$\frac{1}{2}$ : les générateurs sont les matrices (2x2) de Pauli :
		\begin{equation*}
			\sigma^x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
			\sigma^y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}
			\sigma^z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
		\end{equation*}
	\end{block}
	\pause
	Pour ce modèle $c_{x,\mu}=1\otimes c_x$, $n_{x,\mu}=1\otimes n_x$. 
	
	\begin{block}{}
	$n_{x,\upp} = \begin{pmatrix} n_x & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
	$n_{x,\downn} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & n_x \end{pmatrix}$
	$n_{x,\mu = (\upp,\downn) }=n_{x,\upp}+n_{x,\downn}=1 \otimes n_x$
	\end{block}
}

\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Modèle XY}
	\framesubtitle{Généralités}
	\begin{block}{Commutation}
	Les règles de commutation deviennent :\\
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Fermions : \\
			$[c_{x,\mu} , c_{y,\mu} ^{\dagger} ]_+ = \delta_{\mu \nu} \delta_{x y} $ \\
			\pause
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Bosons : \\
			$[c_{x,\mu} , c_{y,\mu} ^{\dagger} ] = \delta_{\mu \nu} \delta_{x y} $ \\
		\end{column}
	\end{columns}
	\end{block}
}

\subsection{Les nouveaux opérateurs}
\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Modèle XY}
	\framesubtitle{Choix de l'opérateur de dilatation}
	On prouve que, dans le cas du modèle XY, on retrouve le même genre de propriété de décroissance.\\
	\begin{equation*}
	 H_L = - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \sigma_i^x \otimes \sigma_j^x + \sigma_i^y \otimes \sigma_j^y
	\end{equation*}\\ \pause
	On étudie cette fois-ci l'opérateur A :
	\begin{equation*}
	 A = < \sigma_{a,\upp}\otimes\sigma_{b,\downn} >
	\end{equation*}
	On doit alors choisir un autre opérateur $G_{\theta}$ :
		\begin{equation*}
	 G_{\theta} = 
	 \begin{pmatrix}
e^{i \theta /2} & 0\\ 
0 & e^{-i \theta /2}
\end{pmatrix}
	\end{equation*}	
}

\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Modèle XY}
	\framesubtitle{Choix de l'opérateur de dilatation}
	On obtient en particulier (pour $\sigma=(\sigma^x,\sigma^y)$) :
	\begin{equation*}
 H_{\theta}=G_{\theta}^{-1} H G_{\theta}= - \frac{1}{4}\sum_{<i,j>} \p{G_{\theta_i}^{-1} \sigma_i G_{\theta_i}} \otimes \p{G_{\theta_j}^{-1} \sigma_j G_{\theta_j}}
	\end{equation*}	
	\pause
	Après des calculs similaires (produits $\leftrightarrow$ produits tensoriels) on obtient :
	\begin{alertblock}{}
	\begin{equation*}
		H_{\theta}= H + V
	\end{equation*}	
	où V est hermitienne, de la forme :\\
	$\sum 
	\begin{pmatrix}
	0 & 0 & 0 & 0\\ 
	0 & 0 & cosh(\theta_i-\theta_j)-1 & 0\\ 
	0 & cosh(\theta_i-\theta_j)-1 & 0 & 0\\ 
	0 & 0 &0 & 0 
\end{pmatrix} $
\pause \\Similaire pour $H_{\theta}=G_{\theta}^{-1} A G_{\theta}$
	\end{alertblock}
}

\subsection{Majoration Trace}
\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Modèle XY}
	\framesubtitle{Majoration de la trace}
	Pour mener à bien les calculs, on sépare les cas : \\
	\begin{center}
	$H_{\theta}=G_{\theta}^{-1} A G_{\theta} = A^+ + A^-$
	\end{center}
	Puis on applique des propriétés équivalentes sur les traces obtenues. Au final :
	\begin{block}{}
		\begin{equation*}
			Tr(e^{-\beta(H + V)}) \leq Tr(e^{-\beta H}) ||e^{-\beta V}||_{\infty}
		\end{equation*}	
	\end{block}
}

\subsection{Equation de Poisson}
\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Modèle XY}
	\framesubtitle{Majoration de la trace}
	On résout enfin l'équation de Poisson précédente, en séparant les cas ($A^+$ et $A^-$).\\
	Résultat similaire
}

\section{Conclusion}
\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Conclusion}
	\framesubtitle{Autres modèles}
	\begin{block}{Nous avons vu}
		\begin{itemize}[<+->]
			\item Des modèles permettant de traiter les comportements des réseaux de spins (Hubbard et XY) et des rappels sur les opérateurs de création, d'annihilation et de "nombre de particules"
			\item Comment calculer pour un modèle très simplifié la décroissance des fonctions de correlation
			\item Comment l'étendre à un modèle vectoriel (XY)
		\end{itemize}
	\end{block}
	\begin{block}{Nous n'avons pas vu}
		\begin{itemize}[<+->]
			\item Comment traiter les cas autres que "plus proches voisins" (voir Messager \& Ruiz \@ CPT)
			\item Comment optimiser la solution de l'équation de Poisson
			\item Comment traiter le modèle de Hubbard avec les interactions de potentielles
		\end{itemize}
	\end{block}
}

\comment{
\frame[label=framesimple]
{
	\frametitle{Conclusion}
	\framesubtitle{Autres modèles}
	Pour poursuivre l'exposé, on peut s'intéresser à d'autres Hamiltoniens (voir M.Rouleux @ CPT).\newline \newline
	On traitera par exemple d'hamiltoniens qui pourraient intervenir dans la théorie BCS (supraconductivité) !\newline \newline
	On pourrait aussi essayer de traiter le cas de voisins interagissant "assez loin"\newline \newline
}
}



\appendix
\section<presentation>*{\appendixname}
%\subsection<presentation>*{Lectures complémentaires}

\begin{frame}[allowframebreaks]
  \frametitle<presentation>{Lectures complémentaires}

  \begin{thebibliography}{10}

\beamertemplatearticlebibitems	
  \bibitem{Jap92}
    T.~Koma and H.~Tasaki
    \newblock Decay of Superconducting et Magnetic Correlations
    \newblock {\em Physical Review Letters}, Volume 68(21) : 3248--3251, 1992.
	
	
  \beamertemplatebookbibitems
  % Commencer avec des livres (image d'un livre insérée)
  \bibitem{Simon}
    B.~Simon
    \newblock {The Statistichal Mechanics of Lattice Gases}.
    \newblock {\em Princeton University Press}, 1995.

	 \beamertemplatebookbibitems
  % Commencer avec des livres (image d'un livre insérée)
  \bibitem{Diep}
    H.T.~Diep
    \newblock {Physique de la matière condensée}.
    \newblock {\em Dunod}, 2003.
	
\beamertemplatearticlebibitems	
  \bibitem{Ruiz}
    A.~Messager , S.~Miracle-Sole and J.~Ruiz
    \newblock Upper bounds on the decay of correlations in $SO(N)$-symmetric spin systems with long range interactions
    \newblock {\em Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique}, Volume 40(1) : 85-96, 1984.
	
	
  \end{thebibliography}
\end{frame}

\frame[label=framesimple]
{\begin{center}
Merci de votre attention ! \\
Des questions ?	
\end{center}
}
\end{document}